Juegos para imitar a un pájaro imitador

En un bosque viven unos pájaros muy especiales. Cuando estos pájaros oyen el nombre de otro pájaro, responden con otro nombre. Por ejemplo, el cuando el pájaro \(A\) oye \(B\), responde \(C\). Esto lo indicaremos como \(AB = C\).

Este bosque, además, tiene dos características muy importantes:

• \(C_1\) (regla de composición): dados dos pájaros \(A\), \(B\) cualesquiera, siempre existe un pájaro \(C\) tal que \(A(Bx) = Cx\) para todo pájaro \(x\). Decimos que \(C\) compone \(A\) con \(B\).
• \(C_2\) (existencia del pájaro imitador): existe un pájaro imitador \(M\), tal que \(Mx=xx\). Es decir, al oír el nombre de un pájaro, \(M\) responde con el nombre que ese pájaro responde al oír su propio nombre.

M, el pájaro imitador

Pájaros apreciadores

Decimos que un pájaro \(A\) aprecia a un pájaro \(B\) si \(AB=B\). Es decir, un pájaro aprecia a otro cuando al oír su nombre, responde con ese mismo nombre.

1. Existe un rumor de que todos los pájaros de este bosque aprecian a algún pájaro. Sabiendo que el bosque satisface \(C_1\) y \(C_2\), ¿crees que este rumor es cierto?

   Solución

   Sea \(A\) un pájaro cualquiera, y sea \(B\) el pájaro que compone \(A\) con \(M\). Es decir, \(Bx = A(Mx)\) para cualquier pájaro \(x\). Entonces,

   \[ \begin{align*} Bx &= A(Mx) \quad && B \text{ existe por } C_1 \\ Bx &= A(xx) \quad && Mx=xx \text{ por } C_2 \\ BB &= A(BB) \quad && \text{tomando } x=B \end{align*} \]

   Y por lo tanto \(A\) aprecia a \(BB\).

Pájaros egocéntricos

Decimos que un pájaro \(A\) es egocéntrico si \(AA=A\). Es decir, si cuando oye su nombre, responde con su nombre.

2. Demuestra que, sabiendo que el bosque satisface \(C_1\) y \(C_2\), existe al menos un pájaro egocéntrico.

   Solución

   Sea \(A\) el pájaro que compone \(M\) consigo mismo. Es decir, \(Ax = M(Mx)\) para cualquier pájaro \(x\). Entonces,

   \[ \begin{align*} Ax &= M(Mx) \quad && A \text{ existe por } C_1 \\ Ax &= M(xx) \quad && Mx=xx \text{ por } C_2 \\ Ax &= (xx)(xx) \quad && Mx=xx \text{ por } C_2 \\ AA &= (AA)(AA) \quad && \text{tomando } x=A \end{align*} \]

   Y por lo tanto \(AA\) es egocéntrico.

Pájaros simpáticos

Decimos que dos pájaros \(A\) y \(B\) simpatizan si existe un pájaro \(C\) tal que \(AC=BC\). Es decir, si existe un pájaro tal que al oír su nombre ambos responden lo mismo. Decimos que un pájaro es simpático si simpatiza con todos los pájaros.

3. Consideremos una variante del problema 1. Ahora, solo asumimos la condición \(C_1\), pero no \(C_2\). En cambio, sabemos que existe un pájaro simpático. ¿Podemos deducir ahora que todos los pájaros aprecian a algún pájaro?

   Pista 1

   El problema 1 no es más que un caso especial de este problema. ¿Por qué? ¿Es un pájaro imitador necesariamente simpático?

   Solución

   Sea \(A\) un pájaro cualquiera, \(S\) un pájaro simpático, \(B\) el pájaro que compone \(A\) con \(S\) y \(C\) el pájaro tal que \(BC=SC\), que debe existir por ser \(S\) simpático. Entonces,

   \[ \begin{align*} Bx &= A(Sx) \quad && B \text{ existe por } C_1 \\ BC &= A(SC) \quad && \text{tomando } x=C \\ BC &= A(BC) \quad && \text{ya que } BC=SC \\ \end{align*} \]

   Y por lo tanto \(A\) aprecia a \(BC\). Como \(A\) era un pájaro cualquiera, vemos que todos los pájaros aprecian a algún pájaro.

4. Supongamos que se cumple \(C_1\) y que conocemos los pájaros \(A\), \(B\) y \(C\), tales que \(C\) compone \(A\) con \(B\). Demuestra que si \(C\) es simpático, entonces \(A\) también lo es.

   Solución

   Sea \(D\) un pájaro cualquiera, \(E\) el pájaro que compone \(D\) con \(B\) y \(F\) el pájaro tal que \(CF=EF\), que existe por ser \(C\) simpático. Entonces,

   \[ \begin{align*} Cx &= A(Bx) \quad && \text{para cualquier pájaro } x \\ Ey &= D(By) \quad && \text{para cualquier pájaro } y \\ CF &= A(BF) \quad && \text{tomando } x=F \\ EF &= D(BF) \quad && \text{tomando } y=F \\ A(BF) &= D(BF) \quad && \text{ya que } CF=EF \end{align*} \]

   Entonces, \(A\) simpatiza con \(D\). Como \(D\) es un pájaro cualquiera, vemos que \(A\) simpatiza con todos los pájaros y por lo tanto es simpático.

5. De nuevo, asumimos \(C_1\). Demuestra que dados tres pájaros \(A\), \(B\) y \(C\) cualesquiera, existe un pájaro \(D\) tal que \(Dx=A(B(Cx))\) para todo pájaro \(x\).

   Solución

   Por \(C_1\), existe \(F\) que compone \(B\) con \(C\), es decir, tal que \(Fx=B(Cx)\) para todo pájaro \(x\). De nuevo por \(C_1\), existe \(D\) que compone \(A\) con \(F\), es decir, tal que \(Dx=A(Fx)\) para todo pájaro \(x\). Entonces, \(Dx = A(Fx) = A(B(Cx))\), como queríamos demostrar.

Pájaros compatibles

Decimos que dos pájaros \(A\) y \(B\) (iguales o distintos) son compatibles si existen pájaros \(x\), \(y\) tales que \(Ax=y\) y \(By=x\).

6. Demuestra que, dadas las condiciones \(C_1\) y \(C_2\), dos pájaros cualesquiera son siempre compatibles.

   Solución

   Sean \(A\), \(B\) dos pájaros cualesquiera y \(C\) el pájaro que compone \(A\) con \(B\). Por el problema 1, sabemos que dadas las condiciones \(C_1\) y \(C_2\) todo pájaro aprecia a algún pájaro. Sea \(y\) el pájaro al que \(C\) aprecia. Entonces \(Cy=y\). Por otro lado, \(Cy=A(By)\), ya que \(C\) compone a \(A\) y \(B\). Entonces, \(A(By)=Cy=y\). Si \(x=By\), entonces \(Ax=y\) y \(By=x\), por lo que \(A\) y \(B\) son compatibles, como queríamos demostrar.

Pájaros felices

Decimos que un pájaro es feliz si es compatible consigo mismo. Es decir, si existen pájaros \(x\), \(y\) tales que \(Ax=y\) y \(Ay=x\).

7. Demuestra que si un pájaro aprecia a al menos un pájaro, entonces es feliz.

   Solución

   Para ser compatible consigo mismo, ¡no es necesario que \(x\), \(y\) sean distintos! Entonces, como sabemos que \(A\) aprecia a algún pájaro \(x\), \(Ax=x\) y \(A\) es feliz.

Pájaros normales

Decimos que un pájaro es normal si aprecia a al menos un pájaro.

8. Acabamos de demostrar que un pájaro normal es feliz, pero el converso no es necesariamente cierto: un pájaro feliz puede no ser normal. Demuestra que si se cumple \(C_1\) y si hay al menos un pájaro feliz en el bosque, entonces hay al menos un pájaro normal.

   Solución

   Si \(F\) es feliz, existen pájaros \(x\), \(y\) tales que \(Fx=y\) y \(Fy=x\). Sustituyendo, \(F(Fx)=x\). Además, por \(C_1\) sabemos que existe un pájaro \(C\) que compone a \(F\) consigo mismo. Entonces, \(Cx=F(Fx)=x\), por lo que \(C\) aprecia a \(x\) y por lo tanto \(C\) es normal.

Pájaros rematadamente egocéntricos

Decimos que un pájaro \(A\) es rematadamente egocéntrico si \(Ax=A\) para todo pájaro \(x\). Es decir, si el pájaro siempre responde con su nombre.

Pájaros obsesionados

Decimos que un pájaro \(A\) está obsesionado con un pájaro \(B\) si \(Ax=B\) para todo pájaro \(x\). Un pájaro rematadamente egocéntrico es un pájaro obsesionado consigo mismo.

El cernícalo \(K\)

El cernícalo (representado con la \(K\) de kestrel, su nombre en inglés) es un pájaro tal que

\[ (Kx)y = x \]

para dos pájaros \(x\), \(y\) cualesquiera. Es decir, \(Kx\) está obsesionado con \(x\).

9. Dadas las condiciones \(C_1\) y \(C_2\) y la existencia de un cernícalo, demuestra que al menos un pájaro es rematadamente egocéntrico.

   Solución

   Sea \(A\) el pájaro que compone a \(K\) con \(M\). Entonces,

   \[ \begin{align*} Ax &= K(Mx) \quad && A \text{ existe por } C_1 \\ Ax &= K(xx) \quad && \text{por } C_2 \\ AA &= K(AA) \quad && \text{tomando } x=A \\ (AA)y &= K(AA)y \quad && \text{para un pájaro cualquiera } y \\ (AA)y &= AA \quad && \text{por ser } K \text{ cernícalo} \end{align*} \]

   Y por lo tanto \(AA\) es rematadamente egocéntrico.

10. Si \(x\) está obsesionado con \(y\), ¿se sigue que \(x\) aprecia a \(y\)?

    Solución

    ¡Claro! Si \(x\) responde siempre \(y\), también lo hará cuando oiga \(y\).

11. Demuestra que si un cernícalo \(K\) es egocéntrico, entonces es rematadamente egocéntrico.

    Solución

    \[ \begin{align*} KK &= K \quad && \text{por ser } K \text{ egocéntrico} \\ KKy &= Ky \quad && \text{para un pájaro cualquiera } y \\ K &= Ky \quad && \text{por ser } K \text{ cernícalo} \end{align*} \]

    Por lo tanto, \(K\) responde \(K\) a cualquier pájaro \(y\), es decir, \(K\) es rematadamente egocéntrico.

12. Demuestra que, para un cernícalo \(K\) y un pájaro cualquiera \(x\), si \(Kx\) es egocéntrico, entonces \(K\) aprecia a \(x\).

    Solución

    \[ \begin{align*} (Kx)(Kx) &= Kx \quad && \text{por ser } Kx \text{ egocéntrico} \\ (Kx)(Kx)x &= Kxx \quad && \text{diciendo } x \\ Kx &= x \quad && \text{por ser } K \text{ cernícalo} \end{align*} \]

    Por lo tanto, \(K\) aprecia a \(x\).

13. Determina si esta afirmación es verdadera o falsa:

    Si un pájaro \(A\) es rematadamente egocéntrico, entonces para dos pájaros \(x\), \(y\) cualesquiera \(Ax=Ay\).

    Solución

    Es verdadera. Si \(A\) es rematadamente egocéntrico, entonces \(Ax=A\) y \(Ay=A\), por lo que \(Ax=Ay\).

14. Si \(A\) es rematadamente egocéntrico, ¿se sigue que para \(x\), \(y\) cualesquiera \((Ax)y=A\)?

    Solución

    Sí, ya que \(Ax=A\) y \(Ay=A\), por lo que \((Ax)y=Ay=A\).

15. Demuestra que si \(A\) es rematadamente egocéntrico, entonces para todo pájaro \(x\), el pájaro \(Ax\) también es rematadamente egocéntrico.

    Solución

    Si \(A\) es rematadamente egocéntrico, entonces \(Ax=A\) para cualquier pájaro \(x\). Entonces, \((Ax)y=Ay=A\) para cualquier pájaro \(y\), por lo que \(Ax\) es también rematadamente egocéntrico.

16. En general, no es cierto que si \(Ax=Ay\), entonces \(x=y\). Pero si \(A\) es un cernícalo \(K\), entonces sí es cierto. Demuéstralo.

    Solución

    \[ \begin{align*} Kx &= Ky \quad && \\ (Kx)z &= (Ky)z \quad && \text{para un pájaro cualquiera } z \\ x &= y \quad && \text{por ser } K \text{ cernícalo} \end{align*} \]

17. Es posible que un pájaro aprecie a más de un pájaro, pero no es posible que un pájaro esté obsesionado con más de un pájaro. Demuéstralo.

    Solución

    Si \(A\) está obsesionado con \(B\), entonces \(Ax=B\) para cualquier \(x\). Si \(A\) está obsesionado por \(C\), entonces \(Ax=C\) para cualquier \(x\). Pero entonces, \(B=Ax=C\), y por lo tanto \(B=C\).

18. Demuestra que para un cernícalo \(K\) y un pájaro \(x\) cualquiera, si \(K\) aprecia a \(Kx\), entonces \(K\) aprecia a \(x\).

    Solución

    \[ \begin{align*} K(Kx) &= Kx \quad \text{porque } K \text{ aprecia a } Kx && \\ K(Kx)x &= (Kx)x \quad && \text{diciendo } x \\ Kx &= x \quad && \text{por ser } K \text{ cernícalo} \end{align*} \]

    Y como \(Kx=x\), \(K\) aprecia a \(x\).

19. Alguien dijo una vez:

    ¡Pobre cernícalo egocéntrico! ¡Qué solo está!

    ¿Qué quería decir?

    Solución

    \[ \begin{align*} KK &= K \quad && \text{por ser } K \text{ egocéntrico} && \\ (KK)x &= Kx \quad && \text{para un pájaro cualquiera } x \\ K &= Kx \quad && \text{por ser } K \text{ cernícalo}\\ KK &= (Kx)K \quad && \text{diciendo } K \\ K &= x \quad && \text{por ser } K \text{ egocéntrico y cernícalo } \end{align*} \]

    Es decir, si \(K\) es egocéntrico, entonces cualquier pájaro \(x\) es \(K\). ¡Es el único pájaro del bosque!

Pájaro identidad \(I\)

El pájaro identidad \(I\) es un pájaro tal que

\[ Ix=x \]

para cualquier pájaro \(x\). Es decir, siempre responde lo que le dices… ¡porque aprecia a todos los pájaros!

20. Si sabemos que existe un pájaro identidad \(I\) y que es simpático, ¿se sigue que todos los pájaros aprecian a algún pájaro? ¡Ahora no disponemos de las condiciones \(C_1\) y \(C_2\)!

    Solución

    Sí, ya que, para cualquier pájaro \(A\), existe un pájaro \(B\) tal que \(AB=IB\) por ser \(I\) simpático. Pero \(IB=B\) porque \(I\) es el pájaro identidad. Entonces, \(AB=IB=B\) y por lo tanto \(A\) aprecia a \(B\).

21. Ahora al revés, sabemos que existe un pájaro identidad \(I\) y que todos los pájaros aprecian a algún pájaro. ¿Se sigue que \(I\) es simpático?

    Solución

    Sí. Si un pájaro cualquiera \(A\) aprecia a \(B\), entonces \(AB=B\). Pero para cualquier pájaro \(x\), \(Ix=x\). Concretamente, \(IB=B\). Por lo tanto, \(AB=B=IB\), por lo que \(A\) y \(I\) simpatizan. Por lo tanto, \(I\) simpatiza con cualquier pájaro y es simpático.

22. Ahora sabemos que existe un pájaro identidad \(I\), pero no sabemos si es simpático. Lo que sí sabemos es que cualquier pareja de pájaros es compatible. ¿Cuál de la siguientes conclusiones podemos deducir?

    1. Todos los pájaros son normales
    2. \(I\) es simpático
    Solución

    1. Es cierto. Si cualquier pareja de pájaros es compatible, entonces cualquier pájaro \(A\) será compatible con \(I\). Es decir, existen \(x\), \(y\) tales que \(Ax=y\) y \(Iy=x\). Pero \(Iy=y\), por ser \(I\) el pájaro identidad, y por lo tanto \(y=x\). Así, \(Ax=x\), \(A\) aprecia a \(x\) y por lo tanto es normal.
    2. También es cierto. Como todos los pájaros son normales, siempre simpatizan con \(I\) en el pájaro al que aprecian. Es decir, si \(A\) aprecia a \(x\), entonces \(Ax=x\), pero \(Ix=x\), así que \(Ax=Ix\), por lo que \(A\) y \(I\) simpatizan.

23. El pájaro identidad \(I\), aunque es egocéntrico, en general no es rematadamente egocéntrico. Si lo fuera, ¡estaría en una situación muy triste! ¿Por qué?

    Solución

    Si \(I\) es rematadamente egocéntrico, entonces \(Ix=I\) para cualquier pájaro \(x\). Pero \(Ix=x\) por ser \(I\) el pájaro identidad. Entonces, \(x=I\), y resulta que \(I\) es el único pájaro del bosque.

La alondra \(L\)

La alondra \(L\) es un pájaro tal que

\[ (Lx)y = x(yy) \]

para dos pájaros \(x\), \(y\) cualesquiera.

24. Demuestra que si en un bosque hay una alondra \(L\) y un pájaro identidad \(I\), entonces hay un pájaro imitador \(M\).

    Solución

    \[ \begin{align*} (Lx)y &= x(yy) \quad && \text{ porque } L \text{ es alondra} \\ (LI)y &= I(yy) \quad && \text{ tomando } x=I \\ (LI)y &= yy \quad && \text{ porque } I \text{ es identidad} \end{align*} \]

    Es decir, \(LI\) se comporta exactamente igual que \(M\)… ¡Es \(M\)!

25. Si en un bosque hay una alondra \(L\), entonces todos los pájaros aprecian a algún pájaro, es decir, todos los pájaros son normales. Y, como vimos antes, un pájaro normal es feliz. Por lo tanto, si en un bosque hay un alondra \(L\), ¡todos los pájaros son felices! ¿Puedes demostrarlo?

    Solución

    Si \(A\) es un pájaro cualquiera, queremos hallar un pájaro \(x\) tal que \(Ax=x\), es decir, un pájaro al que \(A\) aprecie.

    \[ \begin{align*} (Lx)y &= x(yy) \quad && \text{ porque } L \text{ es alondra} \\ (LA)y &= A(yy) \quad && \text{ tomando } x=A \\ (LA)(LA) &= A((LA)(LA)) \quad && \text{ tomando } y=LA \\ \end{align*} \]

    Por lo tanto, \(A\) aprecia a \((LA)(LA)\).

26. Se dice que una alondra rematadamente egocéntrica es extremadamente popular. ¿Por qué?

    Solución

    Si \(Lx=L\) para cualquier pájaro \(x\), entonces \((Lx)y = Ly = L\) (problema 14). Por otro lado, tomando \(x=L\) y \(y=LA\), donde \(A\) es un pájaro cualquiera, tenemos que \((LA)(LA)=L\). Pero en el problema anterior acabamos de ver que \(A\) aprecia a \((LA)(LA)\), por lo que \(A\) aprecia a \(L\). ¡Todos los pájaros aprecian a \(L\)!

27. Si asumimos que una alondra nunca puede ser un cernícalo (algo evidente), demuestra que es imposible que una alondra aprecie a un cernícalo.

    Solución

    Supongamos que \(LK=K\), es decir, que la alondra aprecia al cernícalo. Entonces,

    \[ \begin{align*} LK &= K \quad && \\ LKx &= Kx \quad && \text{ diciendo } x \\ K(xx) &= Kx \quad && \text{ por ser } L \text{ alondra} \\ K(xx)y &= Kxy \quad && \text{ diciendo } y \\ xx &= x \quad && \text{ por ser } K \text{ cernícalo} \end{align*} \]

    Es decir, todos los pájaros son egocéntricos. Pero hemos visto antes (problema 19) que un cernícalo egocéntrico sería el único pájaro del bosque. Como sabemos que la alondra no es un cernícalo, es imposible que la alondra le aprecie.

28. Sin embargo, sí puede ocurrir que un cernícalo \(K\) aprecie a una alondra \(L\). Demuestra que, si esto ocurre, entonces todos los pájaros aprecian a \(L\).

    Solución

    \[ \begin{align*} KL &= L \quad && \text{porque } K \text{ aprecia a } L \\ KLx &= Lx \quad && \text{ diciendo } x \\ L &= Lx \quad && \text{ por ser } K \text{ cernícalo} \end{align*} \]

    Entonces, la alondra \(L\) es rematadamente egocéntrica. Y, como hemos visto en el problema 26, entonces es extremadamente popular. ¡Todos la aprecian!

29. La característica más sorprendente de las alondras es esta: suponiendo únicamente que en un bosque existe una alondra, se deduce que existe un pájaro egocéntrico. Es decir, podemos encontrar un pájaro egocéntrico como una expresión que usa únicamente \(L\). ¿Puedes encontrarlo?

    Solución

    En el problema 25 hemos visto que la existencia de una alondra implica que un pájaro \(x\) cualquiera aprecia a \((Lx)(Lx)\). En concreto, el pájaro \(LL\) aprecia a algún pájaro \(y\). Es decir, \((LL)y=y\). Pero, como \(L\) es alondra, \((LL)y=L(yy)\). Por lo tanto, \(L(yy) = y\) y también \(L(yy)y = yy\). Pero, de nuevo, como \(L\) es alondra, \(L(yy)y=(yy)(yy)\), y con lo anterior se tiene que \((yy)(yy)=yy\). Es decir, \(yy\) es egocéntrico, donde \(y\) es un pájaro al que \(LL\) aprecia. Según el problema 25, \(y=(L(LL))(L(LL))\). Finalmente, \(yy=((L(LL))(L(LL)))((L(LL))(L(LL)))\). ¡Uf!