Algunos problemas de geometría

1. Por un punto \(P\) interior a una circunferencia trazamos dos rectas. Una corta a la circunferencia en \(A\) y \(B\) y la otra la corta en \(C\) y \(D\). Demuestra que

\[ |AP|\cdot|PB|=|CP|\cdot|PD|=r^2-d^2 \]

donde \(r\) es el radio de la circunferencia y \(d\) es la distancia entre \(P\) y el centro.

2. Como el punto anterior, pero ahora el punto \(P\) es exterior a la circunferencia y los productos son iguales a \(d^2-r^2\).

Definición

Ese producto es la potencia del punto \(P\) con respecto a la circunferencia.

3. En un triángulo isósceles \(\triangle{ABC}\) \((\hat{B}=\hat{C})\) trazamos la bisectriz de \(\hat{C}\), que corta al lado \(AB\) en \(P\), y la mediatriz de \(AC\), que corta al lado \(AB\) también en \(P\). Determina los ángulos del triángulo.

4. En el interior de un cuadrado \(ABCD\) de área 1, elegimos un punto \(P\) que equidista de \(A\), de \(B\) y de \(M\), el punto medio del lado \(CD\). Determina el área del cuadrilátero \(APMD\).

5. Sobre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo construimos tres semicírculos como muestra la figura. Demuestra que el área sombreada es igual al área del triángulo.

Lúnulas de Alhacén