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Mapas y colores

En el plano

  1. Queremos colorear este dibujo usando no más de cuatro colores y de manera que se cumplan dos condiciones:

    • Cada región ha de ser de un único color
    • Las regiones vecinas han de ser de distinto color

    ¿Se puede?

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  2. Hemos empezado a pintar este mapa circular. Por ahora, hemos usado tres colores y aún nos falta pintar las regiones x, y. ¡Parece que vamos a necesitar cinco colores! ¿Puedes hacerlo con menos?

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El teorema de los cuatro colores

Durante muchos años hubo una conjetura sin resolver que decía que cuatro colores son siempre suficientes para pintar cualquier mapa en el plano. Tras muchos esfuerzos, se consiguió demostrar que todos los mapas eran equivalentes a alguno de los mapas de una lista. Si se conseguía 4-colorear todos los mapas de esa lista, se demostraría que todos los mapas son 4-coloreables. Pero esa lista contenía miles de mapas, así que los matemáticos se sirvieron de ordenadores para hacer ese trabajo, algo que por entonces era poco habitual. Comprobaron que todos los mapas de la lista eran 4-coloreables, con lo que finalmente quedó demostrado el teorema de los cuatro colores.

En otras superficies

  1. El teorema dice que bastan cuatro colores en el plano, pero en otras superficies no tiene por qué ocurrir lo mismo… Aquí tienes un mapa en una cinta de Möbius. Los extremos se unen dando un giro, por lo que las dos regiones marcadas con * son la misma, así como las dos marcadas con **. ¿Cuántos colores hacen falta para colorear este mapa?

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  2. Este dibujo representa un toro, el nombre que los matemáticos dan a las rosquillas o, mejor dicho, a la superficie de las rosquillas. Los extremos laterales se unen de manera que las flechas azules coincidan, formando un cilindro. Después se unen de la misma forma los lados superior e inferior, formando así un toro. ¡Las cuatro regiones de las esquinas son la misma! ¿Cuántos colores necesitamos para colorear este mapa sin que haya regiones vecinas del mismo color?

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\(K_7\) es plano… en el toro

Un grafo completo \(K_n\) es aquel en el que hay una arista por cada pareja de sus \(n\) vértices. Un grafo plano es aquel que se puede dibujar en el plano sin que las aristas se corten. Es sabido que \(K_5\) no es plano, ¡siempre que estemos en el plano! Si nuestra superficie es un toro, no solo podemos dibujar \(K_5\), sino que podemos dibujar \(K_7\) sin que sus aristas se corten. Esto está directamente relacionado con el hecho de que existen mapas de 7 regiones en los que todas hacen frontera con todas las demás.

K7 en el toro es plano, es decir, se puede dibujar sin que las aristas se corten

¿Qué ocurre en 3D?

Hemos visto que necesitamos un mínimo número de colores para colorear un plano, una cinta de Moebius o un toro. ¿Existe algo parecido en 3 dimensiones? ¡No! En 3 dimensiones, siempre podemos dividir el espacio en tantas regiones como queramos de manera que todas tengan alguna frontera con todas las demás. En la imagen puedes ver un ejemplo con 6 regiones. Cada región está formada por dos prismas perpendiculares, y todas comparten frontera con todas las demás. Es decir, ¡necesitamos tantos colores como regiones!

Otros problemas y juegos

  1. Colorea el cuadrado de 4x4 con cuatro colores, de manera que cada color aparezca una sola vez en cada fila y columna.
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  1. Colorea las cifras del 0 al 9 de azul o rojo, de manera que la suma de dos números azules sea un número azul y la suma de dos números rojos sea un número rojo. ¿De cuántas maneras distintas puedes hacerlo?

  2. En el Col, dos jugadores colorean un mapa por turnos, cada uno con su color. No puede haber regiones vecinas del mismo color, y pierde el jugador que se quede sin opciones. Echa algunas partidas en los siguientes mapas y anota tus observaciones. ¿Se puede jugar en todos? ¿Quién gana? ¿Hay estrategias ganadoras?

  3. En el número de abril de 1975 de la revista Scientific American, el gran divulgador Martin Gardner publicó el siguiente mapa, asegurando que era un contraejemplo a la conjetura1 de los cuatro colores, ya que requería de cinco.

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    La publicación de Gardner no fue más que una broma del April Fools’ Day (el Día de los Inocentes del mundo anglosajón), pero engañó a muchos lectores. Muchos otros le enviaron sus coloraciones. ¿Y tú? ¿Podrás colorearlo con cuatro colores?

Enlaces

  1. Por entonces era conjetura, y no teorema, porque no se demostró hasta un año más tarde. ↩