El teorema de Ptolomeo

Claudio Ptolomeo fue un matemático, astrónomo y geógrafo griego que vivió en el siglo II d.C. Es el autor del Almagesto, que fue el tratado de astronomía de referencia durante 1400 años. Contiene un gran catálogo de estrellas y presenta su modelo geocéntrico. En él, la Tierra estaba estática y los otros planetas y el Sol giraban a su alrededor en un complejo sistema de órbitas dentro de órbitas (epiciclos). Se sirvió del teorema que ahora lleva su nombre para desarrollar una tabla de cuerdas, que recogía las longitudes de las cuerdas (segmento que une dos puntos de una circunferencia) en función del ángulo. Vamos a ver dos demostraciones de este bonito teorema, que se enuncia así:

El teorema de Ptolomeo

Si \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) son los vértices consecutivos de un cuadrilátero cíclico, \(AB \cdot CD+AD \cdot BC=AC \cdot BD\)

O, de otra manera:

El teorema de Ptolomeo (sin fórmulas)

En un cuadrilátero cíclico, el producto de las longitudes de sus diagonales es igual a la suma de los productos de las longitudes de los pares de lados opuestos.

Primera demostración

Elegimos un punto \(M\) en la diagonal \(BD\), de manera que \(\angle{DCM}=\angle{ACB}\). Además, \(\angle{CDB}=\angle{CAB}\), ya que abarcan la misma cuerda \(BC\). Por lo tanto, \(\triangle{CDM}\cong\triangle{CAB}\), y entonces \({CD}/{DM}={CA}/{AB}\). Si cruzamos la fracción, llegamos a la igualdad \(AB \cdot CD=AC \cdot DM\).

Por otro lado, \(\angle{CBD}=\angle{CAD}\), ya que abarcan la misma cuerda \(CD\). Además, \(\angle{BCM}=\angle{ACD}\). Por lo tanto, \(\triangle{CBM}\cong\triangle{CAD}\), y entonces \({CB}/{BM}={CA}/{AD}\). Si cruzamos la fracción, llegamos a la igualdad \(AD \cdot BC=AC \cdot BM\).

Sumando las dos igualdades completamos la demostración, puesto que

\[ AB \cdot CD+AD \cdot BC=AC \cdot DM+AC \cdot BM=AC \cdot(DM+BM)=AC \cdot BD \]

Segunda demostración

Esta es una demostración sin palabras. ¡La figura nos cuenta todo el razonamiento! Pero, de todas formas, vamos a explicar claramente lo que ocurre.

Si trazamos las dos diagonales del cuadrilátero, obtenemos cuatro triángulos. Nos interesan tres de ellos:

1. \(\triangle{BCD}\), formado por los lados \(b\), \(c\) y la diagonal \(f\)
2. \(\triangle{BAD}\), formado por los lados \(a\), \(d\) y la diagonal \(f\)
3. \(\triangle{ABC}\), formado por los lados \(a\), \(b\) y la diagonal \(e\)

Vamos a formar nuevos triángulos semejantes a estos tres, escalando cada uno de ellos por un factor distinto:

1. \(\triangle{BCD}\) lo multiplicamos por \(a\), por lo que nos queda un triángulo de lados \(ab\), \(ac\) y \(af\)
2. \(\triangle{BAD}\) lo multiplicamos por \(b\), por lo que nos queda un triángulo de lados \(ba\), \(bd\) y \(bf\)
3. \(\triangle{ABC}\) lo multiplicamos por \(f\), por lo que nos queda un triángulo de lados \(af\), \(bf\) y \(ef\)

Ahora podemos juntar esos tres nuevos triángulos uniendo los lados de longitud \(af\) y \(bf\). La figura resultante podría ser un pentágono cóncavo o convexo, pero resulta ser un paralelogramo, ya que los ángulos que se unen suman lo mismo que un par de ángulos opuestos del cuadrilátero, es decir, 180º, ya que el cuadrilátero es cíclico. Ahora solo falta ver que de la igualdad de sus lados paralelos se deduce el teorema.