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Probabilidad condicionada

El reparto de los panes

Portada de una edición en españo de "El hombre que calculaba"

En su novela El hombre que calculaba, el escritor Malba Tahan nos cuenta cómo los protagonistas se encuentran en el desierto con un hombre en graves apuros. Después de contarles su desgraciada situación, se da esta conversación:

El hombre que calculaba (Capítulo 4)

— ¿Tenéis, por casualidad, algo para comer? ¡Me estoy muriendo de hambre!
— Tengo solamente tres panes –respondí.
— Yo traigo cinco –afirmó a mi lado el Hombre que Calculaba.
— Pues bien –sugirió el jeque–, juntemos esos panes y hagamos un reparto equitativo. Cuando lleguemos a Bagdad os prometo pagar con ocho monedas de oro el pan que coma.

El problema de la partida interrumpida

Los juegos de azar tienen una larga historia. Uno de los más antiguos que se conocen es el Juego Real de Ur, del que se han encontrado tableros datados alrededor del 2500 a.C. Pero su estudio matemático es bastante más reciente. En el siglo XVII los juegos de azar eran uno de los entretenimientos preferidos de la alta sociedad. Antoine Gombaud, conocido como Caballero de Méré, planteó a Blaise Pascal dos problemas sobre apuestas. Pascal mantuvo una abundante correspondencia con Pierre de Fermat discutiendo estos problemas. Esta correspondencia es considerada actualmente como el inicio de la moderna teoría de la probabilidad.

Problema 1. La apuesta interrumpida

La apuesta interrumpida

Dos jugadores se apuestan 1200 monedas a cara o cruz. Gana el primero en llegar a 4 victorias, pero el juego se interrumpe cuando uno lleva 1 victoria y el otro 2. ¿Cómo hay que repartir las monedas?

Solución

Podemos pensar en tres soluciones distintas:

  1. Que el reparto sea proporcional a las victorias. Puesto que llevan 1 y 2 victorias, el reparto ha de ser en proporción \(1:2\), es decir, 400 y 800 monedas.
  2. Que el reparto sea inversamente proporcional a las victorias que faltan para ganar. A un jugador le faltan 3 victorias, mientras que al otro le faltan 2. Por lo tanto, deben repartirlo en proporción inversa \(2:3\), es decir, 480 y 720 monedas.
  3. Que el reparto sea proporcional a la probabilidad que tenían de acabar ganando la partida. Dibujando el árbol de posibilidades es sencillo calcular explícitamente todas las posibles continuaciones. Así, sus probabilidades de ganar eran \(\frac{5}{16}\) y \(\frac{11}{16}\), por lo que habría que repartir las monedas en proporción \(5:11\), es decir, 375 y 825 monedas.
\[ \begin{align*} p(\texttt{CARA})&=\frac{1}{8}+\frac{3}{16}=\frac{5}{16} \\[9pt] p(\texttt{CRUZ})&=\frac{1}{4}+\frac{2}{8}+\frac{3}{16}=\frac{11}{16} \end{align*} \]
flowchart LR
A("1 O / 2 X"):::normal -->|O| B("2 O / 2 X"):::normal
A -->|X| C("1 O / 3 X"):::normal
B -->|O| D("3 O / 2 X"):::normal
B -->|X| E("2 O / 3 X"):::normal
D -->|O| F("CARA"):::cara
D -->|X| G("3 O / 3 X"):::normal
E -->|O| H("3 O / 3 X"):::normal
E -->|X| I("CRUZ"):::cruz
G -->|O| J("CARA"):::cara
G -->|X| K("CRUZ"):::cruz
H -->|O| L("CARA"):::cara
H -->|X| M("CRUZ"):::cruz
C -->|O| N("2 O / 3 X"):::normal
C -->|X| O("CRUZ"):::cruz
N -->|O| P("3 O / 3 X"):::normal
N -->|X| Q("CRUZ"):::cruz
P -->|O| R("CARA"):::cara
P -->|X| S("CRUZ"):::cruz
classDef cara stroke:#844,stroke-weight:3px,fill:#e39a9a,font-family:monospace;
classDef cruz stroke:#448,fill:#7cb5e3,font-family:monospace;
classDef normal stroke:#555,fill:#effce7;
linkStyle 0,2,4,6,8,10,12,14,16 stroke:#d37a7a,stroke-width:2px,color:tomato;
linkStyle 1,3,5,7,9,11,13,15 stroke:#7a7ad3,stroke-width:2px,color:blue;

Problema 2. Apuestas ventajosas

Question

blabla

Referencias

Probabilidad condicionada

Al lanzar una moneda o un dado, damos por hecho que esos objetos no tienen memoria, y que cada nuevo lanzamiento es completamente independiente de los anteriores. Si hemos sacado tres 6 seguidos en un dado, la probabilidad de sacar otro 6 sigue siendo \(\frac{1}{6}\). Cuando dos sucesos son independientes, la probabilidad de que ocurran ambos es el producto de las probabilidades de que ocurra cada uno por separado. Si mañana hay una probabilidad de \(\frac{2}{5}\) de que llueva y

Paradoja del test médico

  • Una enfermedad afecta al 1/1000 de la población.
  • Existe un método para detectarla que tiene una fiabilidad del 98%.
  • He dado positivo.
  • ¿Qué probabilidad tengo de estar enfermo?
  • Variante. Distinguir entre:
  • Sensibilidad = \(p(Positivo | Enfermo)\)
  • Especificidad = p(Negativo | Sano)

El enigma de los taxis

En una ciudad hay solo dos compañías de taxi: la verde y la azul. Un 15% de los taxis son azules y un 85% son verdes. Esta noche un taxi ha atropellado a un peatón y se ha dado a la fuga. Afortunadamente, había un testigo, quien asegura que el taxi era azul. El testigo ha sido sometido a unas pruebas de visión, y se sabe que en las condiciones de visibilidad que había en el momento del accidente es capaz de identificar correctamente el color de un coche el 80% de las veces. A partir de estos datos, ¿de qué color dirías que era el taxi?

Respuesta

El testigo ha dicho que el taxi es azul, pero eso se puede deber a dos razones: o bien el taxi era azul y ha observado correctamente el color, o bien el taxi era verde y el testigo se ha equivocado.

flowchart LR
A["¿Color del taxi?"] -->|0,85| B("🟢")
A -->|0,15| C("🔵")
B -->|0,80| D("🗣️ 'Es verde'")
B -->|0,20| E("🗣️ 'Es azul'")
C -->|0,80| G("🗣️ 'Es azul'")
C -->|0,20| F("🗣️ 'Es verde'")
  • Monty Hall
    • Falacia inversa: confundir p(A|B) con p(B|A)

Bibliografía