Relojes y calendarios¶
Todos sabemos que los días de la semana se repiten en un ciclo de 7 días. Esta observación tan sencilla nos permite responder a preguntas como esta:
Mi próximo cumpleaños
Este año, mi cumpleaños cae en viernes. ¿En qué fecha caerá el año que viene?
Solución
El problema no está del todo bien definido. Hay dos posibilidades, dependiendo de si entre mi cumpleaños de este año y el del año que viene hay un 29 de febrero.
- Si no lo hay, entonces entre mis cumpleaños pasarán 365 días, y como \(365 = 52 \times 7 + 1\), vemos que pasarán 52 semanas completas y 1 día. Si este año cae en viernes, el próximo año caerá en sábado.
- Por ejemplo, mi cumpleaños es el viernes 29 de septiembre de 2022. Entonces mi próximo cumpleaños será el sábado 29 de septiembre de 2023.
- Pero si en este periodo hay un 29 de febrero, habrán pasado 366 días, y por lo tanto el día de la semana avanza 2 días, en vez de 1. En ese caso, mi cumpleaños caerá en domingo.
- Por ejemplo, mi cumpleaños es el viernes 29 de septiembre de 2023. Entonces mi próximo cumpleaños será el domingo 29 de septiembre de 2024. ¡Hemos pasado por un 29 de febrero, ya que 2024 es bisiesto!
Años bisiestos¶
¿Por qué existen los años bisiestos? Desde muy antiguo, se ha sabido que los años no duran una cantidad exacta de días. Es decir, el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta al Sol y regresar a su misma posición no es de 365 días, sino un poco más, aproximadamente 365,24219 días. Si no existieran los años bisiestos, las estaciones se desplazarían con respecto al calendario unas 6 horas al año.
Para compensar este desajuste, ya en el año 46 a.C. el cónsul romano Julio César propuso la siguiente solución:
Calendario juliano
Los años duran 365 días, y se añade un día cada cuatro años. De esta manera, la duración media de un año pasa a ser de
Esto está mucho más cerca del valor real, y este calendario fue el predominante en el mundo romano y occidental durante más de 1600 años. Pero sigue teniendo un error considerable (ver el problema Error juliano), por lo que fue reemplazado (o corregido) en 1582 por el papa Gregorio XII de la siguiente manera:
Calendario gregoriano
Los años duran 365 días, excepto los años bisiestos, que duran 366 días. Son bisiestos todos los años múltiplos de 4, excepto aquellos que sean divisibles entre 100 pero no entre 400. Por ejemplo, no son bisiestos los años 1700, 1800 y 1900, pero sí es bisiesto el año 2000. Así, cada 400 años habrá 97 años bisiestos, por lo que la duración media de un año pasa a ser de
Este es el calendario que usamos actualmente. Sigue sin ser perfecto, pero su error es muy pequeño (ver el problema Error gregoriano).
Error juliano
¿Cuánto error se acumula cada año en el calendario juliano? ¿Cada cuántos años habría un día completo de desajuste?
Error gregoriano
¿Cuánto error se acumula cada año en el calendario gregoriano? ¿Cada cuántos años habría un día completo de desajuste?
Año jacobeo¶
Se dice que un año es año jacobeo cuando el 25 de julio, festividad de Santiago Apóstol, cae en domingo.
Ciclo jacobeo
Suponiendo que los años bisiestos son todos los múltiplos de 4 (aunque eso no sea del todo correcto), calcula cada cuántos años ocurre un año jacobeo. ¿Cuántos años dura el ciclo?
Solución
En el problema anterior hemos visto que el día de la semana en el que cae una cierta fecha avanza un día cada año, excepto si pasamos por un 29 de febrero, en cuyo caso avanza dos días. Es decir, los avances se suceden en un ciclo de (1, 1, 1, 2). Usando el reloj de 7 números de arriba, supongamos que este año es jacobeo y que por lo tanto estamos en el 0. Si avanzamos según la sucesión, pasaremos por:
- 0, 1, 2, 3, 5, 6, 0, 1, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 6, 0, 1, 2, 4, 5, 6, 0, 2, 3, 4, 5, 0, 1, 2, 3, 5, …
Los años jacobeos se suceden con el ciclo (6, 11, 6, 5) y cada 28 años el ciclo se repite. Esto era lo máximo esperable, ya que los días de la semana tienen un ciclo de 7 y los años bisiestos un ciclo de 4. El mínimo común múltiplo de 4 y 7 es 28.
Doomsday¶
El matemático John Conway inventó un método relativamente sencillo para calcular el día de la semana en el que cae cualquier fecha de cualquier año, al que llamó algoritmo Doomsday (el Doomsday es el Día del Juicio Final).
El algoritmo se basa en una observación: hay ciertas fechas que siempre caen en el mismo día de la semana. Estas fechas son fáciles de recordar y nos van a permitir calcular cualquier otra a partir de ellas. Lo haremos en dos pasos, ¡pero empezando por el final!
2. Usar el Doomsday¶
La observación es la siguiente:
Doomsday
Todos los años, estas fechas caen en el mismo día de la semana:
- En los meses pares: 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12.
- En los meses impares: 0/3, 5/9 y 9/5, 7/11 y 11/7. 1
En 2023, por ejemplo, todas esas fechas caen en martes. Decimos que el Doomsday de 2023 es el martes.
Si conocemos el Doomsday de un año, podemos hallar el día de la semana de cualquier fecha contando desde algún Doomsday cercano.
Cómo calcular una fecha a partir del Doomsday
En 2025 el Doomsday es viernes. ¿En qué día de la semana cae el 25 de diciembre de 2025?
Como sabemos que el 12/12 es Doomsday, el 12, el 19 y el 26 caen en viernes. Por lo tanto, el 25 es un jueves.
El calendario humano
Calcula de cabeza en qué día caen las siguientes fechas de 2025:
- 14 de agosto
- 6 de octubre
- 14 de marzo (Día de las Matemáticas)2
- 21 de junio
1. Calcular el Doomsday¶
¡Para usar el Doomsday, antes debemos conocerlo! ¿Cómo? Hallando el ancla y el desplazamiento.
El ancla¶
Cada siglo tiene un ancla, un día de referencia. Por siglo entendemos cada periodo de 100 años desde el 00 hasta el 99. Por ejemplo, al siglo que va de 2100 a 2199 le asignamos el valor s = 21.3
Como el calendario gregoriano se repite cada 400 años, el ancla se repite cada cuatro siglos. Haciendo la correspondencia 1 = lunes, 2 = martes, …, 6 = sábado y 0 = domingo, las anclas siguen el ciclo {2, 0, 5, 3}. Por lo tanto, para hallar en ancla solo debemos observar el resto de dividir s entre 4.
| Resto | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Ancla | 2 | 0 | 5 | 3 |
Ejemplos
- Para hallar el ancla de 1789, tomamos s = 17. Hallamos su resto al dividir entre 4, que es 1. Viendo la tabla, el ancla del siglo 1700–1799 es 0, es decir, domingo.
- Para hallar el ancla del siglo XXI, tomamos s = 20. Es múltiplo de 4, por lo que su resto es 0. El ancla del siglo 2000–2099 es 2, es decir, martes.
El desplazamiento¶
El desplazamiento indica cuánto se desplaza el Doomsday de un año con respecto al ancla de su siglo. El método original de Conway es algo farragoso, pero en 2010 dos matemáticos presentaron4 un algoritmo más sencillo para calcularlo.
flowchart TB
B[/"Entrada: y (año de 2 cifras)"/] --> C{"¿Par o impar?"};
C -->|Par| D("y ÷ 2");
C -->|Impar| E("y + 11");
E --> D;
D --> F{"¿Par o impar?"};
F -->|Par| G("y (mod 7)");
F -->|Impar| H("y + 11");
H --> G;
G --> I("7 - y");
I --> J[/"Salida: desplazamiento"/];
El número que obtenemos es el desplazamiento.
Ejemplo
Calculemos el desplazamiento para el año 1789. Empezamos con y = 89 y seguimos los pasos:
- Es impar (sumamos 11) → 89 + 11 = 100
- Dividimos entre 2 → 100/2 = 50
- Es par (no hacemos nada)
- El resto de dividir entre 7 es 1
- Restamos de 7 → 7 - 1 = 6
El desplazamiento es 6.
¡ancla + desplazamiento = Doomsday!¶
Una vez tenemos el ancla y el desplazamiento de un año, el Doomsday no es más que su suma.
Ejemplo
El ancla de 1789 es 0, y el desplazamiento 6. Por lo tanto, el Doomsday es 0 + 6 = 6, es decir, sábado.
Entonces, el 14 de julio de 1789 cayó en martes, ya que el 11/7 (que sabemos que cae en Doomsday) fue sábado.
0. ¡A practicar!¶
Conway explicó que para practicar su algoritmo hizo un programa que le pedía diez fechas cada vez que encendía el ordenador. Con este entrenamiento, llegó a calcular las diez fechas en menos de 16 segundos.5 ¡Nada mal!
Tú no necesitas eso, aquí mismo puedes practicar tus dotes de calendario. Pulsa 🎲 para mostrar una fecha aleatoria y calcula el día de la semana. Pulsa ❓ para ver la solución paso a paso.
-
El 0 de marzo es el día anterior al 1 de marzo, es decir, el último día de febrero, que será 28 o 29. ↩
-
¡Sí, el Día de las Matemáticas cae en Doomsday! ↩
-
Matemáticamente, \(s=\left\lfloor\frac{a}{100}\right\rfloor\), donde \(a\) es el año. ↩
-
Chamberlain Fong y Michael K. Walters, en Methods for Accelerating Conway’s Doomsday Algorithm. ↩
-
John Horton Conway: the world’s most charismatic mathematician, The Guardian ↩