La Aritmética de Diofanto¶
Libro I¶
1. Dividir un número dado (100) en dos partes con diferencia dada (40)¶
Solución
\[
\begin{cases}
x + y = 100 \\
x - y = 40
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y) = (70,30)
\]
2. Dividir un número dado (60) en dos partes en proporción dada (3:1)¶
Solución
\[
\begin{cases}
x + y = 60 \\
\frac{y}{x} = 3
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y) = (15,45)
\]
3. Dividir un número dado (80) en dos partes, la mayor de las cuales excede una proporción dada (3:1) de la menor en una cantidad dada (4)¶
Solución
\[
\begin{cases}
x + y = 80 \\
y = 3x + 4
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y) = (19,61)
\]
4. Hallar dos números en proporción dada (5:1) y con diferencia dada (20)¶
Solución
\[
\begin{cases}
\frac{y}{x} = 5 \\
y - x = 20
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y) = (5,25)
\]
5. Dividir un número dado (100) en dos partes tales que fracciones dadas de ellas (1/3, 1/5) tienen suma dada (30)¶
Solución
\[
\begin{cases}
x + y = 100 \\
\frac{x}{5} + \frac{y}{3} = 30
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y) = (25,75)
\]
6. Dividir un número dado (100) en dos partes tales que fracciones dadas de ellas (1/4, 1/6) tienen una diferencia dada (20)¶
Solución
\[
\begin{cases}
x + y = 100 \\
\frac{y}{4} - \frac{x}{6} = 20
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y) = (12,88)
\]
7. Hallar un número tal que cuando dos números dados (100, 20) le son restados, las partes restantes están en proporción dada (1:3)¶
Solución
\[
\frac{x-100}{x-20} = \frac{1}{3}
\;
\Longrightarrow
\;
x = 140
\]
8. Hallar un número tal que cuando dos números dados (100, 20) le son sumados, las sumas están en proporción dada (3:1)¶
Solución
\[
\frac{x+100}{x+20} = \frac{3}{1}
\;
\Longrightarrow
\;
x = 20
\]
9. Hallar un número tal que cuando es restado de dos números dados (100, 20), las partes restantes están en proporción dada (6:1)¶
Solución
\[
\frac{100-x}{20-x} = \frac{6}{1}
\;
\Longrightarrow
\;
x = 4
\]
10. Hallar un número tal que cuando es sumado a un número dado (20) y restado a otro (100), los resultados están en proporción dada (1:4)¶
Solución
\[
\frac{20+x}{100-x} = \frac{1}{4}
\;
\Longrightarrow
\;
x = 4
\]
11. Hallar un número tal que cuando un número dado (20) le es sumado y otro (100) le es restado, los resultados están en proporción dada (3:1)¶
Solución
\[
\frac{x+20}{x-100} = \frac{3}{1}
\;
\Longrightarrow
\;
x = 160
\]
12. Dividir un número dado (100) dos veces en dos partes, tales que los primeros de cada pareja están en proporción dada (2:1) y los segundos en otra (3:1)¶
Solución
\[
\begin{cases}
x + y = 100 \\
a + b = 100 \\
\frac{x}{a} = \frac{2}{1} \\
\frac{y}{b} = \frac{1}{3}
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y), (a,b) = (80, 20), (40, 60)
\]
13. Dividir un número dado (100) en tres veces en dos partes, tales que el segundo de cada pareja y el primero de la siguiente (de forma cíclica) están en proporción dada (3:1, 2:1, 4:1)¶
Solución
\[
\begin{cases}
x + y = 100 \\
a + b = 100 \\
z + w = 100 \\
\frac{y}{a} = \frac{3}{1} \\
\frac{b}{z} = \frac{2}{1} \\
\frac{w}{x} = \frac{4}{1}
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y), (a,b), (z,w) = (16, 84), (28, 72), (36, 64)
\]
14. Hallar dos números cuyo producto y suma están en proporción dada (3:1)¶
Solución
\[
\frac{xy}{x+y} = \frac{3}{1}
\;
\Longrightarrow
\;
y = \frac{3x}{x-3}
\;
\Longrightarrow
\;
(x, y) = (4, 12)
\]
15. Hallar dos números tales que cuando un número dado (30) es transferido del segundo al primero, y cuando otro número dado (50) es transferido del primero al segundo, las parejas resultantes tienen proporciones dadas (2:1, 3:1)¶
Solución
\[
\begin{cases}
\frac{x+30}{y-30} = \frac{2}{1} \\
\frac{x-50}{y+50} = \frac{1}{3}
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y) = (98, 94)
\]
16. Hallar tres números tales que la suma de cada pareja es dada (20, 30, 40)¶
Solución
\[
\begin{cases}
x + y = 20 \\
y + z = 30 \\
z + x = 40 \\
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y,z) = (15,5,25)
\]
17. Hallar cuatro números tales que la suma de cada terna es dada (20, 22, 24, 27)¶
Solución
\[
\begin{cases}
x + y + z = 20 \\
y + z + w = 22 \\
z + w + x = 24 \\
w + x + y = 27
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y,z,w) = (9,7,4,11)
\]
18. Hallar tres números tales que la suma de cada pareja excede al tercero en una cantidad dada (20, 30, 40)¶
Solución
\[
\begin{cases}
x + y = z + 20 \\
y + z = x + 30 \\
z + x = y + 40
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y,z) = (30,25,35)
\]
19. [El mismo problema 18, pero resuelto por otro método]¶
20. Hallar cuatro números tales que la suma de cada terna excede al cuarto en una cantidad dada (20, 30, 40, 50)¶
Solución
\[
\begin{cases}
x + y + z = w + 20 \\
y + z + w = x + 30 \\
z + w + x = y + 40 \\
w + x + y = z + 50
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y,z,w) = (20, 15, 10, 25)
\]
21. [El mismo problema 20, pero resuelto por otro método]¶
22. Dividir un número dado (100) en tres partes tales que la suma de las dos primeras está en proporción dada (3:1) con la terceray la suma de las dos última está en proporción dada (4:1) con la primera¶
Solución
\[
\begin{cases}
x + y + z = 100 \\
\frac{x+y}{z} = \frac{3}{1} \\
\frac{y+z}{x} = \frac{4}{1}
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y,z)= (20,55,25)
\]
23. Hallar tres números tales que el tercero excede al segundo en una fracción dada (1/3) del primero, el segundo excede al primero en una fracción dada (1/3) del tercero y el primero excede una fracción (1/3) del segundo en una cantidad dada (10)¶
Solución
\[
\begin{cases}
z - y = \frac{x}{3} \\
y - x = \frac{z}{3} \\
x - \frac{y}{3} = 10
\end{cases}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y,z)= \left(\frac{45}{2},\frac{75}{2},45\right)
\]
24. [El mismo problema 23, pero resuelto por otro método]¶
25. Hallar tres números tales que si cada uno transfiere una fracción suya dada (1/3, 1/4, 1/5) al siguiente (de forma cíclica) los resultados son todos iguales¶
Solución
\[
x - \frac{x}{3} + \frac{z}{5} = y - \frac{y}{4} + \frac{x}{3} = z - \frac{z}{5} + \frac{y}{4}
\;
\Longrightarrow
\;
(x,y,z)= (6,4,5)
\]
Solución
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Bibliografía¶
- Traducción al inglés de la Aritmética por Henry Mendell
- Resúmenes de la Aritmética y otras obras históricas por Joseph Muscat