Trenzas

Podemos sumar trenzas en este sumador:

Las trenzas forman un grupo:

• Asociatividad: \(\mathsf{(ab)c}=\mathsf{a(bc)}\)
• Identidad: existe trenza \(\mathsf{0}\) tal que \(\mathsf{a0}=\mathsf{0a}=\mathsf{a}\) para cualquier trenza \(\mathsf{a}\)
• Inverso: para cualquier trenza existe su inversa

Operaciones

• Relación de Artin: \(\mathsf{aba}=\mathsf{bab}\)
• Conmutatividad de hebras lejanas: \(\mathsf{ac}=\mathsf{ca}\)
• Cancelación: \(\mathsf{aA}=\mathsf{Aa}=\mathsf{0}\)

Dibujando trenzas

Dibuja las siguientes trenzas:

1. \(\mathsf{aBAdcAA}\)
2. \(\mathsf{cB^3adc}\)
3. \(\mathsf{d^3A^3}\)

Solución

\(\mathsf{aBAdcAA}\)	\(\mathsf{cB^3adc}\)	\(\mathsf{d^3A^3}\)

Trenzas equivalentes

Para cada pareja de trenzas, di si representan la misma o no.

1. \(\mathsf{cB^2b^2C}\) y \(\mathsf{cB^2bCb}\)
2. \(\mathsf{dB^2b^2D}\) y \(\mathsf{dB^2bDb}\)

Solución

1. Son trenzas distintas. Basta ver cómo permutan las hebras.
2. Son la misma trenza. En ambos casos las operaciones se cancelan y queda únicamente la identidad.

Aunque las palabras se parecen, en el segundo caso están formadas por operaciones no vecinas y que conmutan, ya que no afectan a las mismas hebras.

Simplificando trenzas

Cada una de estas trenzas se puede simplificar a una sola operación.

1. \(\mathsf{aAbcC}\)
2. \(\mathsf{BdCcDba}\)
3. \(\mathsf{C^2c^4aC^2}\)
4. \(\mathsf{\left(B^5\right)^3\left(b^2\right)^7}\)
5. \(\mathsf{bcbCB}\)

Solución

1. \(\mathsf{b}\)
2. \(\mathsf{a}\)
3. \(\mathsf{a}\)
4. \(\mathsf{B}\)
5. \(\mathsf{b}\)