Coloraciones

Dos colores

1. Nos inventamos una pieza de ajedrez, el camello, que mueve avanzando 1 casilla en una dirección y 3 en la perpendicular, como un caballo-(1,3). ¿Puede un camello desplazarse hasta una casilla adyacente?

   Solución

   Si colocamos el camello en cualquier casilla y vemos a cuáles puede ir desde ahí, veremos que las casillas de destino son del mismo color que la de origen, por lo que no será posible llegar a la casilla adyacente. El caballo sí puede llegar a cualquier casilla porque se mueve 1 + 2 = 3 casillas, una cantidad impar, por lo que cambia de color. Pero el camello se mueve 1 + 3 = 4, que es par, por lo que siempre estará en casillas del mismo color.

   

   Un camello en d5 y sus posibles destinos (a4, a6, c2, c8, e2, e8, g4 y g6). Este camello solo puede moverse por casillas blancas.

2. Quitamos dos esquinas opuestas de un tablero de ajedrez. ¿Es posible cubrir el resto del tablero con dominós?

   Solución

   Aunque el número de casillas restante es 62, que es par, no es posible cubrir el resto del tablero. Cada dominó cubre dos casillas vecinas, una de cada color. Como dos esquinas opuestas son del mismo color, al quitarlas quedan sin cubrir un número distinto de casillas blancas y negras. Podremos colocar hasta 30 dominós, pero entonces quedarán solamente dos casillas sin cubrir, que serán del mismo color, y por lo tanto imposibles de cubrir con un dominó.

   

   Al quitar dos esquinas opuestas, nos hemos quedado con 30 casillas blancas y 32 negras sin cubrir. Cada dominó cubre una casilla de cada color, por lo que será imposible cubrir las 32 negras, y siempre quedarán dos de ellas sin cubrir.

3. En cada casilla de un tablero de 7 × 7 hay una hormiga. En un momento dado, todas las hormigas se mueven a una casilla vecina (es decir, con la que comparten un lado). Demuestra que alguna casilla quedará vacía. [Puedes ver una animación aquí.]

   Solución

   En un tablero de 7 × 7 hay 25 casillas de un color y 24 del otro. Cuando las hormigas se mueven, pasan a una casilla del color opuesto. Si hay 24 casillas blancas, entonces esas hormigas pasarán a alguna de las 25 casillas negras, pero (por el principio del palomar) siempre quedará al menos una sin ocupar.

   

   Hay una casilla negra más que blanca, por lo que al moverse siempre quedará alguna casilla negra vacía y alguna casilla blanca ocupada por más de una hormiga.

4. Una rana se encuentra en una esquina de un tablero de 8 × 8. Cada vez que salta, pasa a una casilla vecina (con la que comparte un lado). ¿Podrá llegar desde su esquina hasta la esquina opuesta visitando todas las casillas del tablero una sola vez?

   Solución

   No. Supongamos que empieza en una casilla blanca. Los colores que la rana visita se van alternando: B-N-B-N-… Como hay la misma cantidad de casillas blancas y negras, la última casilla ha de ser negra: …-B-N-B-N. Pero las esquinas opuestas son del mismo color, así que es imposible.

5. Con el tetraminó T

   1. ¿Podemos teselar un tablero de 8 × 8?
   2. ¿Y un tablero de 10 × 10?
   Solución

   1. Sí. Podemos rellenar un tablero de 4 × 4 usando cuatro tetraminós. Después podemos repetir esa configuración cuatro veces para rellenar el tablero de 8 × 8. En total, usaremos 16 tetraminós.

      

      Esta configuración permite cubrir cualquier tablero de m × n cuando m y n son múltiplos de 4.

      

      Hay otras teselaciones posibles.

   2. No. A diferencia del dominó, el tetraminó no cubre el mismo número de casillas de cada color. Según dónde lo coloquemos, el tetraminó puede ser de dos tipos: o bien cubrirá 3 casillas negras y 1 blanca o bien 1 casilla negra y 3 blancas. Para cubrir el tablero hacen falta 25 tetraminós, por lo que no puede haber el mismo número de tetraminós de cada tipo. Eso quiere decir que si colocamos 25 tetraminós siempre se cubrirá un número distinto de casillas blancas y negras, lo que impide cubrir el tablero de 10 × 10.

6. Un queso tiene forma de cubo de 3 × 3. Un ratón se encuentra en uno de sus vértices y empieza a comerse el queso cubito a cubito, pasando a uno adyacente al terminar. ¿Puede dejarse el cubito central para el final?

7. Un suelo rectangular está cubierto por baldosas de 2 × 2 y de 1 × 4. Una de las baldosas de 2 × 2 se rompe, pero hay una baldosa de repuesto de 1 × 4. ¿Podemos reordenar las baldosas para cubrir el suelo?
8. El número 12 está escrito en la pizarra. Cada minuto, el número de la pizarra se multiplica por 2 o por 3 o se divide entre 2 o entre 3. Al cabo de una hora, ¿es posible que en la pizarra esté el número 54?
9. Demuestra que si cubrimos un tablero de ajedrez con dominós, habrá el mismo número de dominós horizontales que verticales.¹
10. ¿Qué dimensiones ha de tener un tablero para que pueda ser cubierto por tetrominós L?

Tres o más colores

1. ¿Podemos teselar un tablero de 10 × 10 con baldosas de 1 × 4?
2. Un tablero de 8 × 8 se cubre con baldosas de 1 × 3, dejando una única casilla descubierta. ¿Dónde puede estar esa casilla?

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1. Vertical and Horizontal Dominoes on a Chessboard (www.cut-the-knot.org) ↩