Números \(p\)-ádicos¶
Pendiente
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Los 10-ádicos¶
Problema 1
Halla un número cuyo cuadrado termine en las mismas…
- 2 cifras
- 3 cifras
- 5 cifras
- 10 cifras
Solución
Ejemplos triviales serían las potencias de \(10\), ya que \(10^n\) termina en \(n\) ceros y su cuadrado también. También los números \(10^n+1\) coinciden con su cuadrado en las últimas \(n\) cifras. Pero hay otros ejemplos más interesantes. Un caso conocido es \(25^2=625\). Si repetimos la operación y nos quedamos cada vez con las cifras comunes, obtenemos coincidencias cada vez mayores:
- \(\mathbf{25}^2=6\mathbf{25}\) (2 cifras)
- \(\mathbf{625}^2=390\mathbf{625}\) (3 cifras)
- \(3\mathbf{90625}^2=1525878\mathbf{90625}\) (5 cifras)
- \(\mathbf{90625}^2=82128\mathbf{90625}\) (5 cifras)
- \(\mathbf{8212890625}^2=6745157241\mathbf{8212890625}\) (10 cifras)
¿Qué ocurre si seguimos aumentando las cifras que coinciden? Podemos pensar que en el límite alcanzamos un número que se extiende infinitamente hacia la izquierda. Desde luego, no será un número natural ni real, pero veamos si tiene sentido.
- Calcula \(9 \times \dots 111111\)
- Súmale 1
El negativo (complemento a 9 + 1) ¡Hay negativos! ¿Habrá fracciones?
1/2 es 1/2 porque es el inverso de 2, es decir, al multiplicarlo por 2 obtenemos 1.
Problema 2
Halla los inversos 10-ádicos de
a. 2 b. 3 c. 5 d. 7
Podemos dividir entre cualquier número 10-ádico terminado en 1, 3, 7, 9.
¿Hay raíces cuadradas?
Sí, pero puede haber más de dos! Ya hemos visto que … cumplía la ecuación \(x^2-x=0\). Entonces,
y por lo tanto \(2x-1= \dots 1312312\) es una tercera raíz cuadrada de \(1\), además de \(1\) y \(-1\). También hay una cuarta, ¿sabrías encontrarla?
Estas casos que fallan (números sin inverso, demasiadas raíces cuadradas, …) son debidos a que \(10\) es un número compuesto, y por lo tanto en los \(10\)-ádicos existen divisores de cero. En los números reales sabemos que si \(ab=0\), entonces necesariamente \(a=0\) o \(b=0\) (o ambas). Esta propiedad es muy importante y nos permite factorizar polinomios y hallar sus raíces. Pero en los \(10\)-ádicos, acabamos de ver que \(x^2-x=x(x-1)=0\), ¡pero ni \(x\) ni \(x-1\) son \(0\)!
Los \(p\)-ádicos¶
Problema de Diofanto (Libro V, Problema 29)
Halla tres cuadrados cuyas áreas sumen un cuadrado y tales que el área del primero sea el lado del segundo y el área del segundo sea el lado del tercero.