Matrices

El producto escalar de vectores

Los vectores admiten una operación muy útil, el producto escalar, que consiste en multiplicar las parejas de componentes correspondientes y sumar todos esos productos. Es decir,

\[ \mathbf x \cdot \mathbf y=\sum_{1}^{n}x_i y_i \]

donde \(n\) es el número de componentes de los vectores, que ha de ser el mismo. Si vemos el vector como una flecha en el espacio, el producto escalar de dos vectores está relacionado con la proyección de cada vector sobre el otro. Concretamente

\[\mathbf x \cdot \mathbf y=|\mathbf x ||\mathbf y|\cos \theta\]

siendo \(\theta\) el ángulo que forman.

Así, podemos representar la expresión \(2x+3y=4\) como

\[ \mathbf a \cdot \mathbf v = \begin{bmatrix}2 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=4 \]

y el sistema de ecuaciones

\[ \left\{ \begin{aligned} 3x-7y = 1 \\ 2x+y = 29 \end{aligned} \right. \]

se puede escribir

\[ \left\{ \begin{aligned} \mathbf a_1 \cdot \mathbf v &= \begin{bmatrix}3 & -7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = 1 \\[5 pt] \mathbf a_2 \cdot \mathbf v &= \begin{bmatrix}2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = 29 \end{aligned} \right. \]

Nos resultaría cómodo expresar lo mismo en una sola ecuación, algo así

\[ \mathbf A \cdot \mathbf v =\begin{bmatrix}3 & -7\\2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 \\ 29 \end{bmatrix} \]

De momento, podemos pensar en \(\mathbf A\) como una unión de dos vectores fila, uno sobre el otro, que al multiplicarse “escalarmente” con el vector columna \(\mathbf v\) nos da el vector columna \(\begin{bmatrix}1 \\ 29 \end{bmatrix}\).

Problema 1

Halla la \(\mathbf A\) que transforma \(\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}\) en

1. \(\begin{bmatrix}y \\ x\end{bmatrix}\)
2. \(\begin{bmatrix}-y \\ x\end{bmatrix}\)
3. \(\begin{bmatrix}x \\ x\end{bmatrix}\)
4. \(\begin{bmatrix}0 \\ y\end{bmatrix}\)
5. \(\begin{bmatrix}x+y \\ y\end{bmatrix}\)
6. \(\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}\)

Si interpretamos el vector \(\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}\) como las coordenadas de un punto arbitrario del plano, podemos ver cada \(\mathbf A\) como una cierta transformación geométrica. ¿A qué corresponde cada una?

Problema 2

Dados los sistemas de ecuaciones

\[ \left\{ \begin{aligned} 3x-7y=w \\ 2x+y=z \end{aligned} \right. \\[6pt] \left\{ \begin{aligned} u-v=x \\ u+2v=y \end{aligned} \right. \]

1. Halla \(\mathbf A_1\) para el primer sistema.
2. Halla \(\mathbf A_2\) para el segundo sistema.
3. Halla \(\mathbf A_3\) para el sistema de dos ecuaciones que expresa \(w, z\) en función de \(u, v.\)
4. Halla \(\mathbf A_4\) para el sistema de dos ecuaciones que expresa \(u, v\) en función de \(w, z.\)

Problema 3

Dados los sistemas de ecuaciones

\[ \left\{ \begin{aligned} ax+by=w \\ cx+dy=z \end{aligned} \right. \\[6pt] \left\{ \begin{aligned} eu+fv=x \\ gu+hv=y \end{aligned} \right. \]

Halla \(\mathbf A\) para el sistema de dos ecuaciones que expresa \(w, z\) en función de \(u, v.\)

Las matrices

A estos objetos formados por la unión de dos vectores fila (los \(\mathbf A\) que hemos visto) les llamaremos matrices. En los ejemplos que hemos visto, las \(\mathbf A\) eran matrices de \(2\) (filas) \(\times\) \(2\) (columnas). Podemos pensar también que el vector columna \(\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}\) es una matriz de \(2 \times 1\), y el vector fila \(\begin{bmatrix}3 & -7\end{bmatrix}\) una matriz de \(1 \times 2\).

Problema 4

¿Cómo crees que se multiplican las matrices? Inténtalo con las del Problema 1.

1. \(\mathbf A_1 \cdot \mathbf A_2\)
2. \(\mathbf A_2 \cdot \mathbf A_1\)
3. \(\mathbf A_3 \cdot \mathbf A_4\)
4. \(\mathbf A_4 \cdot \mathbf A_3\)

¿Qué observas? ¿Qué condiciones crees que han de cumplir dos matrices para poderlas multiplicar?

Problema 5

1. Para cada una de las transformaciones del Problema 3, calcula el área del cuadrado unidad transformado.
2. ¿Cuál es el área del cuadrado unidad después de transformarlo mediante \(\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\)?

Transformaciones lineales

Una transformación (o función) lineal \(f\) tiene dos propiedades importantes:

1. \(f(\bold a+\bold b) = f(\bold a)+f(\bold b)\)
2. \(\lambda f(\bold a)=f(\lambda \bold a)\)

La primera propiedad nos dice que la transformada de la suma es igual a la suma de las transformadas y la segunda nos dice que escalar la transformada es igual que transformar la escalada. Esto simplifica mucho las cosas. Por ejemplo, si queremos saber cómo cierta \(f\) transforma el vector \(\bold v = \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\), podemos escribir lo siguiente:

\[ \begin{aligned} f\left(\bold v\right) & =f\left(\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right) \\[8pt] &= f\left(\begin{bmatrix}x \\ 0 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \\ y \end{bmatrix}\right) \\[8pt] &= f\left(\begin{bmatrix}x \\ 0 \end{bmatrix}\right) + f\left(\begin{bmatrix}0 \\ y \end{bmatrix}\right) \\[8pt] &= f\left(x\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) + f\left(y\begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) \\[8pt] &= xf\left(\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) + yf\left(\begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) \\[8pt] &= xf\left(\bold x\right) + yf\left(\bold y\right) \end{aligned} \]

¿Cómo interpretamos esto? Muy fácil, nos basta saber cómo se transforman los vectores que forman la base para saber cómo se transforma cualquier vector.

Problema 6

Di cuáles de las siguientes transformaciones son lineales:

1. \(f(x) = 3x\)
2. \(f(x) = 2x+1\)
3. \(f(x, y) = 5x-2y\)
4. \(f(x) = x^2+x\)